ETUDE DE CAS: METHODE DE BOX ET JENKINS

Bonjour et bienvenu sur mon blog, aujourd'hui nous allons nous intéresser à l'analyse des séries temporelles. Quand on veut prédire ou juste analyser l’évolution d’une certaine quantité dans le temps, (Le cours de la bourse par exemple) on est très vite confronté un type de données assez particulier : Les séries temporelles

Qu'est ce qu'une série temporelle ?

Une série temporelle (ou chronologique) est une suite d’observations (𝑥1,𝑥2,···,𝑥3) indexée par le temps. L’analyse des séries temporelles permet d’étudier les situations passée et présente et d’extrapoler l’évènement dans un futur relativement proche. Une série temporelle est généralement constituée de plusieurs composante à savoir :

Pourquoi ce type de données est-il important ?

Qu’est-ce qu’il a de spécial ?

L’importance des séries temporelles vient de son omniprésence. En effet, dans presque tous les domaines on les retrouve (finance, marketing, traitement du signal, physiques).

Pour cette application de la modélisation des séries temporelles. je m'appuierai notamment sur les éléments étudier en cours avec mes professeurs GEORGE BRESSON et

JEAN MICHEL ETIENNE, ainsi que la documentation issu des sources ci-dessous.

Source
doc 1 : Forecasting: Principles and Practice
doc 2 : inria
doc 3 : Série temporelle : Analyse et extrapolation

CAS PARTIQUE : APPLICATION

I. Analyse préliminaire et familiarisation avec les données

Analyse exploratoire et préparation des données
cette étape vise à mieux comprendre notre jeu de données, à identifier et à gérer les valeurs aberrantes et des données manquantes.

Jeu de données

Statistique descriptif

Interprétation

Ce jeu de données contient une seule information a savoir le taux de profit en % cette information est observé sur 151 périodes, on peut aisément remarquer qu'il n'y à pas de données manquante. On peu remarquer qu'il y'a une forme d'homogénéité de nos variable dans la répartition de nos variable cela ne traduit pas nécessairement que notre série est stationnaire pour le voir il nous faudra réaliser un étude un peu plus pousser. le graphique de distribution de la figure 1 confirme l'intuition que nous avons pu avoir quand à l'homogénéité de répartition de notre variable. les valeur minimum (2.4 correspondant à la valeur du taux de profit à l'année 1978) et maximum (32.1 correspondant à la valeur du taux de profit à l'année 1872 ) il semble plutôt correct et peuvent être expliquer.

Analyse Graphique de la serie temporelle
cette étape vise à identifier les composantes de la serie temporelle à savoir
1. la tendance
2. la saisonnalité
3. le bruit (les residus) et
4. la stationnarité.

Visualisation de la série temporelle

Tendance de la série

Remarque :

Dans notre cas on peut clairement voir que tendance est déterministe, décroissante et non linéaire. nous pouvons déjà déceler un problème de stationnarité.

La saisonnalité de la série

Remarque :

Sur peut graphiquement remarque sur le graphe que notre série est saisonnier, avec des hausse et des baisses régulières une certaine période. pourra identifier ces périodes en effective un zoom sur les zone identifier graphiquement.

Les residus de la série

Analyse de la stationnarité du processus

définition stationnarité
On dit qu'un processus est stationnaire lorsque ses moments ne varie pas dans le temps on parle dans ce cas de stationnarité forte. si seulement ces moments d'ordre 1 et 2 ne varie pas dans le temps on parle alors de stationnarité faible 

Remarque : Intuition sur la stationnarité du processus
1. Une série est stationnaire en moyenne lorsqu'elle évolue autour d'une droite horizontale.
2. Pour vérifier la stationnarité d'une série on peut calculer la moyenne de la série sur plusieurs part de temps et comparer ces valeur.
si les valeur obtenu sont identique ou sensiblement identique on peut conclu que la série est stationnaire en moyenne, sinon elle ne l'est pas.
3. On peut identifier la stationnarité d'une série en visualisant sa moyenne mobile sur une part de temps (de préfectance une années)
si la moyenne mobile à une tendance linéaire horizontale on peut conclu que la série est stationnaire en moyenne.

Test pour la Stationnarité

Nous pouvons utiliser le test de Dickey-Fuller augmenté (unit root test).
En statistique et en économétrie, un test de Dickey-Fuller augmenté (ADF) permet de tester l'hypothèse nulle de la présence d'une racine unitaire dans un échantillon de série temporelle. L'hypothèse de rechange est différente selon la version du test utilisée, mais il s'agit habituellement de la stationnarité ou de la tendance-stationnarité.
Fondamentalement, nous essayons d'accepter l'hypothèse nulle H0 (que la série temporelle a une racine unitaire, indiquant qu'elle est non stationnaire) ou de rejeter H0 et d'opter pour l'hypothèse alternative (que la série temporelle n'a pas de racine unitaire et est stationnaire).
Nous finissons par décider cela en fonction du rendement de la p-value.
Une petite valeur p (typiquement ≤ 0,05) indique une forte évidence contre l'hypothèse nulle, donc vous rejetez l'hypothèse nulle.
Une valeur p élevée (> 0,05) indique une faible preuve contre l'hypothèse nulle, donc vous ne pouvez pas rejeter l'hypothèse nulle.
Faisons le test du Dickey-Fuller Augmenté sur nos données.

Analyse du test

De ce qui précède il ne serait pas exagérer de dire que notre processus est non stationnaire. En effet un processus est qualifier de non stationnaire lorsqu'on à les éléments suivant :

• il y a une tendance

• il y a une saisonnalité

• une moyenne et une variance qui varient dans le temps.

Log-linéarisation de la série
Objectif essayer d'éliminer les variabilité des amplitude de la série. pour stationnarité la série ne variance.

df['log_xt'] = np.log(df['The profit rate (%)'])

Opération de différentiation d'ordre 1
Objectif stationna iriser la série

df['first_diff'] = df['log_xt'] - df['log_xt'].shift(1)

Vérification de la stationnarité de la série

Analyse du test

II. Spécification du modèle

from statsmodels.tsa.stattools import acf, pacf
import statsmodels.api as sm

1. Analyse des corrélogrammes